L’utilità attesa degli investitori

Una volta definita la porzione di ricchezza da consumare, il soggetto dovrà poi decidere la soluzione ottimale per l’impiego delle somme da destinare all’investimento. Effettuerà quelle scelte finanziarie che gli consentiranno di massimizzare il rendimento atteso (valore atteso) alla fine del periodo dell’investimento.
Il rendimento atteso è la media delle misure di ricchezza di fine periodo, ponderate per le rispettive probabilità di accadimento. Definendo W1, W2, W3 come tre differenti stati finali di ricchezza e p1, p2, p3 le rispettive probabilità di accadimento, è possibile calcolare il valore atteso come segue:

Un esempio chiarirà meglio il concetto esposto nelle righe precedenti. Si ipotizzi un capitale iniziale di 1000 euro che alla fine del periodo considerato potrà assumere tre diversi valori in relazione alle rispettive probabilità di accadimento:
W1 = 1100 euro con probabilità p1 = 0,5
W2 =1500 euro con probabilità p2 = 0,3
W3 = 2500 euro con probabilità p3 = 0,20
Il rendimento atteso del capitale sarà dunque:
M(W) = 1100 x 0,5 + 1500 x 0,3 + 2500 x 0,2 = 1450 euro
È razionale pensare che chiunque voglia massimizzare il valore atteso del proprio patrimonio alla fine del periodo di investimento, ma un’analisi più approfondita del “modus operandi” degli individui, porta a pensare che l’obiettivo reale degli investitori non è quello di massimizzare la ricchezza in quanto tale ma piuttosto il soddisfacimento dei bisogni umani che tale ricchezza procura. In altre parole, il soggetto vorrà ottenere il massimo beneficio dall’utilità attesa dalla ricchezza ottenuta, cioè:
M[U(W)] = U(W1) x p1 + U(W2) p2 + U(W3)*p3
Il soggetto effettua le proprie scelte finanziarie sulla base dell’utilità attesa dai possibili investimenti, cioè misura l’utilità prodotta da ciascun impiego, e sceglie l’alternativa caratterizzata dal più alto livello di utilità.La funzione di utilità attesa può essere definita da un indicatore numerico di soddisfazione per ogni possibile conseguenza delle scelte effettuate dall’individuo.
Si ipotizzi un investitore che presenti la seguente funzione di utilità:
U(W) = 2W
Per sapere qual è l’utilità attesa derivante dalla possibilità di investimento precedentemente vista sarà sufficiente sostituire nella funzione di utilità U(W) = 2*W i valori W1, W2, W3 e le rispettive probabilità:
M[U(W)] = (1100 x 2 x 0,5) + (1500 x 2 x 0,3) + (2500 x 2 x 0,2) = 3000
Si ipotizzi che il soggetto abbia una seconda possibilità di investimento con i seguenti valori:
W1= 1200 con probabilità p1 = 0,1
W2= 1900 con probabilità p2 = 0,6
W3= 2400 con probabilità p3 = 0,3
L’utilità attesa derivante sarà:
M[U(W)]2 = (1200 x 2 x 0,1) + (1900 x 2 x 0,6) + (2400 x 2 x 0,3) = 3960
L’investitore in questione sceglierà l’alternativa d’investimento che presenterà l’utilità attesa superiore, nel nostro caso la seconda, poiché M[U(W)] = 3000 < M[U(W)]2 = 3960.
Gli investitori hanno una utilità marginale decrescente, ciò indica che hanno bisogno di un maggior incremento di ricchezza per lo stesso incremento di utilità mano mano che l’utilità cresce.